项目名称：自适应小波和非规则的理论及应用

Theory and Applications of Adaptive Wavelets and irregular wavelets

　　项目简介：

　　小波分析是数学理论与应用实践紧密结合的典范，在它成型之前工程师和信号处理专家已在实践中应用它，而其理论的完善又必须借助调和分析、泛函分析、表示论、逼近论等一系列的数学工具，这就激起了数学家和应用研究者的共同兴趣，最近几十年来关于小波分析的研究长盛不衰。由于其拥有的许多优良性质，目前在信号与图像处理、模式识别、偏微分方程的数值计算等领域中有着广泛的应用，近二十年来一直是数学研究的热点之一。

　　本项目研究自适应小波和非规则小波的性质与构造，同时也探索其在信号与图像处理中的应用。自从I. Daubechies构造出光滑、紧支、具有消失矩的正交小波，S. Mallat提出多尺度分析和小波快速算法，以及Sweldense提出基于提升格式的小波之后，小波分析的应用便进入了高潮，尤其是在信号、图像处理和数值计算领域，小波分析表现出了无比的优越性。继传统的正交小波出现之后，研究者又陆续提出了双正交小波、多小波、小波框架和高维小波等，它们有一个共同的特点，就是具有规则的平移和伸缩结构，即都是由一个或几个称之为母小波的函数经过二进制伸缩和整平移而得到，这就导致它们有两个主要缺点：一是处理边界问题的能力比较差，这对求解一般区域上的偏微分方程边值问题很不利；一是不具有方向性，这对于图像的边沿和纹理不能够很好地逼近。为了克服这些缺点，最近研究者又相继提出了非规则小波、曲波、带波等概念，这些新的小波在一定程度上克服了以上缺点，进一步提升了小波处理边界问题以及图像的边沿和纹理的能力。之所以有这些进步是因为这几种新的小波具有各向异性的特点，它们沿不同的方向具有不同的消失矩，从而具有方向辨别能力，见下面的示意图。

　　S. Mallat 等人提出的带波的基本思想就是将原始图像分块，使得曲线状奇性限制在每一个子块上近似为直线状，在每一个子块上用方向性小波来逼近分布在这一个子块上的直线状奇性，以达到更高的逼近精度。实践证明这一思想非常成功，但由于作变换之前必须事先对原始图像作分块，分块方式与原始图像的奇性分布必须相适应，这一点难以实现自动化，对于复杂而又分布随意图像边界和纹理，仍然不能够很好地处理。要克服这一困难，必须使小波的方向性随图像奇性分布的变化而自行调整，即具有自适应性。

　　本项目的内容之一便是深入探索自适应小波变换，信号与图像的非线性小波逼近，寻找快速有效的自适应小波数值计算方法。自适应小波变换将是曲波和带波变换的进一步发展，随着研究的深入，将面对许多新的、具有挑战性的问题，解决这些问题，无论是对小波理论还是应用都具有重大的促进作用。

　　本项目的另一项研究内容是进一步研究非规则小波框架，侧重于对更一般意义下的非规则小波以及广义小波函数系作深入探索，力图弄清它们的性质与结构，同时构造更适合于某一具体问题的小波函数系，提升计算速度与效果。

　　此外，本项的研究内容还包括第二代小波在图像压缩、图像恢复、数据隐藏、数字水印和数字签名等方面的应用。